Question

已知函數f（x）=x³-ax，
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）已知函數g（x）=ax（|x+a|-1），記h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），當函數h（x）的最大值為0時，求實數a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∵f′（x）＞0x＞1或x＜-1，且x∈[-2，2]，
∴函數f（x）在[-2，-1]上遞增，[-1，1]上遞減，[1，2]上遞增，
∵f（-2）=f（1）=-2，
∴f_min（x）=-2，
∵f（0）=-2，而f（2）=2，
∴f_max（x）=2；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=x³-ax|x+a|（x∈[0，2]），
（1）當a≤0時，h（x）=x³-ax|x+a|≥0，
∵h（0）=0，且0＜x≤2時h（x）＞0，顯然不符合題設；
（2）當a＞0時，∵x≥0，h（x）=x³-ax²-a²x，
∴h′（x）=3x²-2ax-a²=（x-a）（3x+a），
∵x≥0，
∴h′（x）＞0x＞a，
①當a≥2時，必有h′（x）≤0，
∴h（x）在[0，2]上單調遞減，則最大值為h（0）=0，滿足題設；
②當0＜a＜2時，∵h′（x）＞0x＞a，
∴h（x）在[0，a]上單調遞減，（a，2]上單調遞增，
則h（x）_max=max（h（0），h（2）），
∵h（0）=0，只需h（2）≤0，即8-4a-2a²≤0，
解得，
∴；
綜上得，所求實數a的取值范圍是。