Question

如圖所示，已知PA切⊙O于A，割線PBC交⊙O于B、C，PD⊥AB于D，PD、AO的延長線相交于E，連結CE并延長交⊙O于F，連結AF．

(1)求證：△PBD∽△PEC；

(2)若AB＝12，tan∠EAF＝，求⊙O的半徑．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：由切割定理，得PA²＝PB·PC．

　　由△PAD∽△PEA，

　　得PA²＝PD·PE．

　　所以PB·PC＝PD·PE．

　　又∠BPD為公共角，

　　所以△PBD∽△PEC．

　　(2)解：作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC，可得∠PEC＝∠F，

　　因此PE∥AF．又OG⊥AB于G，所以AG＝AB＝6．

　　所以OG∥ED∥FA．

　　所以∠AOG＝∠EAF．

　　在Rt△AOG中，tan∠AOG＝，

　　又＝，所以OG＝9．

　　由勾股定理，可得

　　AG²＋OG²＝AO²，

　　所以AO＝＝3．

　　所以⊙O的半徑長為3．

　　分析：在(1)中，要證相似的兩個三角形已經有一個角相等，只要再證其夾邊對應成比例即可，而這可由△PAD∽△PEA得到；

　　在(2)中，已知tan∠EAF＝，所以需構造直角三角形，從而利用三角函數求解．

提示：

已知條件中或圖形中出現切線、割線等相關的條件時，通常需要借助于切割線定理建立線段之間的關系．