Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又∠CAD=30°，PA=AB=4，點N在線段PB上，且．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）求證：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）設平面PAB∩平面PCD=l，試問直線l是否與直線CD平行，請說明理由．

Answer 1

解：（I）證明：（I） 因為△ABC是正三角形，M是AC中點，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC…（1分）
又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，PA⊥BD…（2分）
又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC…（4分）
又PC?平面PAC，所以BD⊥PC…（5分）
（Ⅱ）在正三角形ABC中，BM=…（6分）
在△ACD，因為M為AC中點，DM⊥AC，所以AD=CD
∠CAD=30°，所以，DM=，所以BM：MD=3：1…（8分）
所以BN：NP=BM：MD，所以MN∥PD…（9分）
又MN?平面PDC，PD?平面PDC，所 以MN∥平面PDC…（11分）
（Ⅲ）假設直線l∥CD，因為l?平面PAB，CD?平面PAB，
所以CD∥平面PAB…（12分）
又CD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以CD∥AB…（13分）
這與CD與AB不平行，矛盾
所以直線l與直線CD不平行…（14分）
分析：（Ⅰ）通過證明BD⊥平面PAC，然后證明BD⊥PC；
（Ⅱ）通過證明線段成比例證明MN∥PD，利用直線 平面平行的判定定理證明MN∥平面PDC；
（Ⅲ）利用反證法證明直線l∥CD，推出CD∥AB與CD與AB不平行矛盾從而說明直線l與直線CD不平行．
點評：本題考查在與平面垂直與平行的判定定理的應用，反證法的應用，考查空間想象能力與邏輯推理能力．