Question

給定有限單調遞增數列{x_n}（n∈N^*，n≥2）且x_i≠0（1≤i≤n），定義集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若對任意點A₁∈A，存在點A₂∈A使得OA₁⊥OA₂（O為坐標原點），則稱數列{x_n}具有性質P．
（Ⅰ）判斷數列{x_n}：-2，2和數列{y_n}：-2，-1，1，3是否具有性質P，簡述理由．
（Ⅱ）若數列{x_n}具有性質P，求證：
①數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
②若x₁=-1，x₂＞0且x_n＞1，則x₂=1．
（Ⅲ）若數列{x_n}只有2013項且具有性質P，x₁=-1，x₃=2，求{x_n}的所有項和S₂₀₁₃．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數列{a_n}具有性質P的概念，對數列{x_n}：-2，2與數列{y_n}：-2，-1，1，3分析判斷即可；
（Ⅱ）①取A₁（x_i，x_i），數列{x_n}具有性質P，故存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，利用向量的坐標運算整理即可證得x_i+x_j=0；
②由（1）知，數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；數列{x_n}是單調遞增數列且x₂＞0，1為數列{x_n}中的一項，通過反證法可證得x₂=1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x₂=1．若數列{x_n}只有2013項且具有性質P，可得x₄=4，x₅=8，猜想數列{x_n}從第二項起是公比為2的等比數列，利用等比數列的求和公式計算即可．
解答：解：（Ⅰ）數列{x_n}具有性質P，數列數列{y_n}不具有性質P．
對于數列{x_n}，若A₁（-2，2），則A₂（2，2）；若A₁（-2，-2）則A₂（2，-2）；均滿足OA₁⊥OA₂，所以具有性質P．
對于數列{y_n}，當A₁（-2，3）若存在A₂（x，y）滿足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，即=，數列{y_n}中不存在這樣的數x，y，因此不具有性質P．…（3分）
（Ⅱ）（1）取A₁（x_i，x_i），又數列{x_n}具有性質P，所以存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_ix_i+x_ix_j=0，又x_i≠0，所以x_i+x_j=0．…（5分）
（2）由（1）知，數列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；又數列{x_n}是單調遞增數列且x₂＞0，所以1為數列{x_n}中的一項．
假設x₂≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N^*）有x_k=1，所以0＜x₂＜1．
此時取A₁（x₂，x_n），數列{x_n}具有性質P，所以存在點A₂（x_i，x_s）使得OA₁⊥OA₂，所以x₂x_i+x_nx_s=0；只有x₁，所以當x₁=-1時x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾；
當x_s=-1時x₂=≥1，矛盾．所以x₂=1．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，x₂=1．若數列{x_n}只有2013項且具有性質P，可得x₄=4，x₅=8，
猜想數列{x_n}從第二項起是公比為2的等比數列．（用數學歸納法證明）．
所以S₂₀₁₃=-1+1+2+4+…+2²⁰¹¹==2²⁰¹²-2     …（13分）
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查新概念的理解與應用，突出考查抽象思維與反證法的綜合應用，屬于難題．