Question

某中學有5名報考藝術類的考生要乘坐汽車到某大學參加專業測試．學校指派1名教師帶隊．已知他們6個人的座位恰好位于前后兩排，每排有3個座位，哪個人坐哪個座位的概率相等，每位考生專業測試合格的概率等于

2

3

．
（I）求帶隊教師坐在前排的概率；
（II）假設該中學5名考生恰有r人專業測試合格的概率等于

80

243

，求r的值．

Answer 1

分析：（I）根據座位恰好位于前后兩排，每排有3個座位，哪個人坐哪個座位的概率相等，我們易求出5名學生1名老師的不同坐法總數，及教師恰好坐在前排的坐法種數，代入古典概型公式，即可得到帶隊教師坐在前排的概率；
（II）由已知中每位考生專業測試合格的概率等于

2

3

．則每位考生專業測試不合格概率等于（1-

2

3

）．若5名考生恰有r人專業測試合格，則一定有（5-r）人專業測試不合格，根據相互獨立事件概率乘法公式，構造關于r的方程，解方程即可求出r的值．

解答：解：（I）5名學生1名老師的不同坐法共有A₆⁶種；
其中帶隊教師坐在前排的不同坐標共有C₃¹•A₅⁵種；
故求帶隊教師坐在前排的概率P=

C 1 3 • A 5 5

A 6 6

=

3•5•4•3•2•1

6•5•4•3•2•1

=

1

2

（II）5名考生恰有r人專業測試合格的概率
P=

C

r 5

•(

2

3

)r•(1-

2

3

)5-r
=

C

r 5

•2r•(

1

3

)5
=

C r 5 •2r

243

=

80

243

解得：r=3 或r=4

點評：本題考查的知識點是等可能事件的概率及n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，屬于基礎題型，但（II）中的方程組解法稍難，可采用代入驗證的方法進行求解．