Question

設為實數，函數

(Ⅰ)求的單調區間與極值；

(Ⅱ)求證：當且時，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)的單調遞減區間是，單調遞增區間是,極小值為;(Ⅱ) 見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)直接根據導數和零的大小關系求得單調區間，并由單調性求得極值；(Ⅱ)先由導數判斷出在R內單調遞增，說明對任意，都有，而，從而得證.

試題解析：（１）解：由知，．

令，得.于是，當變化時，和的變化情況如下表：

		0	+
	單調遞減		單調遞增

故的單調遞減區間是，單調遞增區間是．在處取得極小值，極小值為．                 

（２）證明：設，于是．

由（1）知，對任意,都有，所以在R內單調遞增．

于是，當時，對任意，都有，而 ，

從而對任意，都有，即故

考點：1.利用導數研究函數的單調性；2. 利用導數求函數極值3.利用函數的最值證明不等式.