Question

（本小題滿分13分）

已知動圓過點，且與圓相內切.

（1）求動圓的圓心的軌跡方程；

（2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.

∵，

∴點在圓內.                                                   

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                  …………（2分）                                        

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為

,  則.

∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.               …………（4分）                         

 (2)由 消去化簡整理得：.

…………（6分）

設，，則.

△.  ①                  …………（7分）                          

由 消去化簡整理得：.

…………（9分）

設，則,

△.  ②                …………（10分）                       

∵，

∴，即，

∴.

∴或.

解得或.                                                                     

當時,由①、②得  ，

∵Z,

∴的值為 ，，;

當，由①、②得  ，

∵Z,

∴.

∴滿足條件的直線共有9條                                     …………（13分）