Question

設．
（1）設a_n=f（n）-g（n），求a₁，a₂，a₃，并證明{a_n}為遞減數列；
（2）是否存在常數c，使f（n）-g（n）＞c對n∈N^*恒成立？若存在，試找出c的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“”，可得到a₁，a₂，a₃，再由通項公式求得a_n+1-a_n，再判斷它與0的大小，從而判斷是否為遞減的等差數列．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在常數c，使f（n）-g（n）＞c對n∈N^*恒成立，再利用ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，通過取即可得到證明，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）．
由此a₁=1．  ，．
又．
構造函數h（x）=ln（1-x）+x．x∈（0，1）
由
知h（x）在[0，1）上為單減函數．
從而當x＞0時，h（x）＜h（0）=0
取．有
即a_n+1-a_n＜0
故{a_n}為遞減數列．
（2）存在如C=0等，下證
注意到．
這只要證即可．
∵ln（1+x）＜x對x＞0恒成立，
∴取即可得上式成立．
從而
此時常數c=0．
點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了數列的定義，通項，不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．