Question

設正數數列的前項和為，且對任意的，是和的等差中項．（1）求數列的通項公式；

    （2）在集合，，且中，是否存在正整數，使得不等式對一切滿足的正整數都成立？若存在，則這樣的正整數共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數的值；若不存在，請說明理由；

    （3）請構造一個與數列有關的數列，使得存在，并求出這個極限值．

Answer 1

（1）（） （2）共有個，的最小值為

（3）2

解析:

解：（1）由題意得，  ①， 

當時，，解得，……（1分）

當時，有  ②，

①式減去②式得，

于是，，，……（2分）

因為，所以，

所以數列是首項為，公差為的等差數列，……（3分）

所以的通項公式為（）．……（4分）

（2）設存在滿足條件的正整數，則，，

，……（6分）

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均滿足條件，

它們組成首項為，公差為的等差數列．……（8分）

設共有個滿足條件的正整數，則，解得．……（10分）

所以，中滿足條件的正整數存在，共有個，的最小值為．……（12分）

（3）設，即，……（15分），

則

，其極限存在，且

．……（18分）

注：（為非零常數），（為非零常數），

（為非零常數，）等都能使存在．

按學生給出的答案酌情給分，寫出數列正確通項公式的得3分，求出極限再得3分．