Question

（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）

點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

（I）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點；         

（II）證明:構成等比數列.

Answer 1

解析：本小題主要考查直線和橢圓的標準方程和參數方程，直線和曲線的幾何性質，等比數列等基礎知識。考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。

解：（I）（方法一）由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.          

(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得

即故P與Q重合。

（方法三）在第一象限內，由可得

橢圓在點P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點P處的切線。

根據橢圓切線的性質，P是橢圓與直線的唯一交點。

（II）的斜率為的斜率為

由此得構成等比數列。