Question

（2010•溫州二模）若函數f（x）=sinx+acosx在區間[-

π

3

，

2π

3

]上單調遞增，則a的值為（　�。�

• A．

  3

• B．-

  3

• C．

  3

  3

• D．-

  3

  3

Answer 1

分析：f（x）=sinx+acosx⇒f（x）=

1+a2

sin（x+φ）⇒T=2π，函數f（x）=sinx+acosx在區間[-

π

3

，

2π

3

]上單調遞增⇒f（

2

3

π）=

1+a2

，從而可求得a的值．

解答：解：∵f（x）=sinx+acosx=

1+a2

sin（x+φ），
∴其周期T=2π，又

2

3

π-（-

π

3

）=π，
∴f（x）_max=f（

2

3

π）=sin

2

3

π+acos

2

3

π=

1+a2

，即

3

2

-

a

2

=

1+a2

，①
將①等號兩端分別平方得：

3

4

+

a2

4

-

3

2

a=1+a²，即

3

4

a2 +

3

2

a+

1

4

=0，
解得a=-

3

3

．
故選D．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，難點在于利用輔助角公式將f（x）=sinx+acosx轉化為f（x）=

1+a2

sin（x+φ）后，對f（

2

3

π）=sin

2

3

π+acos

2

3

π=

1+a2

的理解與應用，屬于難題．