Question

【題目】已知拋物線過點，過點作直線與拋物線交于不同兩點、，過作軸的垂線分別與直線、交于點、，其中為坐標原點.

（1）求拋物線的方程；

（2）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（3）求證：為線段的中點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）焦點坐標為，準線方程為；（3）證明見解析.

【解析】

（1）將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可求出拋物線的標準方程；

（2）根據（1）中的結果可寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（3）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，并列出韋達定理，求出點、的坐標，然后結合韋達定理證明出點、的縱坐標之和為點縱坐標的兩倍，即可證明出點為線段的中點.

（1）將點的坐標代入拋物線的方程得，解得，

因此，拋物線的標準方程為；

（2）由（1）知，拋物線的焦點坐標為，準線方程為；

（3）設直線的方程為，設點、，

將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去得，

由韋達定理得，.

直線的方程為，聯立，得點，

直線的方程為，聯立，得點，

點的坐標為，

，則，

因此，為線段的中點.