Question

設坐標原點為O，拋物線y²=2x與過焦點的直線交于A，B兩點，則

OA

•

OB

=

 

．

Answer 1

分析：法一：根據拋物線的標準方程，求出焦點F（

1

2

，0 ），當AB的斜率不存在時，可得A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），求得

OA

•

OB

 的值，結合填空題的特點，得出結論．
法二：由拋物線y²=2x與過其焦點（

1

2

，0）的直線方程聯立，消去y整理成關于x的一元二次方程，設出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點坐標，

OA

• 

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達定理可以求得答案．

解答：解：法一：拋物線y²=2x的焦點F（

1

2

，0 ），
當AB的斜率不存在時，可得A（

1

2

，1），B（

1

2

，-1），
∴

OA

•

OB

=（

1

2

，1）•（

1

2

，-1）=

1

4

-1=-

3

4

，
法二：由題意知，拋物線y²=2x的焦點坐標為（

1

2

，0），∴直線AB的方程為y=k（x-

1

2

），
由

y2=2x y=k(x- 1 2 )

得k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則 x1+x2=

k2+ 2

k2

，x1•x2=

1

4

，y₁•y₂=k（x₁-

1

2

）•k（x₂-

1

2

）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+

1

4

]
∴

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

k2+2

k2

+k2(

1

4

-

k2+2

4k2

+

1

4

) =-

3

4

，
故答案為：-

3

4

．

點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，兩個向量的數量積公式，通過給變量取特殊值，檢驗所給的選項，是一種簡單有效的方法．