Question

設等比數列的首項為，公比為為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足。

（1）       求數列的通項公式；

（2）       試確定實數的值，使得數列為等差數列；

（3）       當數列為等差數列時，對每個正整數，在和之間插入個2，得到一個新數列。設是數列的前項和，試求滿足的所有正整數。

Answer 1

解： （1）由題意，則，解得或

因為為正整數，所以，

又，所以

（2）當時，得，

同理：時，得；時，得，

則由，得而當時，，得。

由，知此時數列為等差數列。

（3）由題意知，

則當時，，不合題意，舍去；

當時，，所以成立；

當時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數列中的某一項，則

又，所以，

即，所以

因為為奇數，而為偶數，所以上式無解。

即當時，

綜上所述，滿足題意的正整數僅有。