Question

【題目】已知定義在區間上的函數，.

（Ⅰ）證明：當時，；

（Ⅱ）若曲線過點的切線有兩條，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）利用導數求得函數單調性，可證得；（2）利用假設切點的方式寫出切線方程，原問題轉化為方程在上有兩個解；此時可采用零點存在定理依次判斷零點個數，得到范圍，也可以先利用分離變量的方式，構造新的函數，然后討論函數圖像，得到范圍.

（1）證明：時，

在上遞減，在上遞增

（2）當時，，，明顯不滿足要求；

當時，設切點為（顯然），則有

，整理得

由題意，要求方程在區間上有兩個不同的實數解

令

①當即時，在上單調遞增，在上單調遞減或先單調遞減再遞增

而，，

，

在區間上有唯一零點，在區間上無零點，

所以此時不滿足題要求.

②當時， 在上單調遞增

不滿足在區間上有兩個不同的實數解

③當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

，

在區間上有唯一零點，所以此時不滿足題要求.

④當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

當即時，在區間上有唯一零點，此時不滿足題要求.

當即時，在區間和上各有一個零點

設零點為，又這時顯然在區間上單調遞減

，此時滿足題目要求.

綜上所述，的取值范圍是

（2）解法二：設切點為

由解法一的關于的方程在區間內有兩解

顯然不是方程的解

故原問題等價于在區間內有兩解

設，且

則，且

令，，則

又，；，

，

故，；，

從而，遞增，，遞減

令，

由于時，時

故，；，，

而時，，時，

故在區間內有兩解

解得：