Question

在直角坐標系中,點到兩點的距離之和等于4,設點的軌跡為,直線與交于兩點.
(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據橢圓的定義，可判斷點的軌跡為橢圓，再根據橢圓的基本量，容易寫出橢圓的方程，求曲線的方程一般可設動點坐標為，然后去探求動點坐標滿足的方程，但如果根據特殊曲線的定義，先行判斷出曲線的形狀(如橢圓，圓，拋物線等)，則可直接寫出其方程；（2）一般地，涉及直線與二次曲線相交的問題，則可聯立方程組，或解出交點坐標，或設而不求，利用一元二次方程根與系數的關系建立關系求出參數的值(取值范圍)，本題可設，根據兩點坐標滿足的方程，去判斷的符號.
試題解析：(1)設,由橢圓定義可知,點的軌跡是以為焦點,長半軸為2的橢圓,它的短半軸,      2分
故曲線的方程為.     5分
(2)證明:設,其坐標滿足消去并整理,得
                       7分
故.           9分
.                                     11分
因為在第一象限,故.
由知,從而.
又，故,
即在題設條件下,恒有.                                                        13分
考點：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系.