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函數。

（1） 判斷并證明函數的奇偶性；

（2） 若,證明函數在（2，+）單調增；

（3） 對任意的，恒成立，求的范圍。

 

【答案】

（1）函數為奇函數。 (2) 即。函數在單增；（3）。

【解析】

試題分析：（1）該函數為奇函數�！�..1分

證明：函數定義域為

對于任意有

所以函數為奇函數。

(2) 即。設任意且

則

，即

函數在單點增

（3）由題意：對于任意恒成立。

從而對于任意恒成立。

即對于任意恒成立。

設則當有最大值，

所以，。

考點：本題主要考查函數的奇偶性、單調性，不等式恒成立問題。

點評：中檔題，高一階段，研究函數的奇偶性、單調性，多運用“定義”，這是處理這里問題的基本方法。對于“恒成立問題”，一般運用“分離參數法”，轉化成求函數的最值問題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）的定義域內的任意x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”？
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
12
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在[a，b]上的函數，用分點T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，將區間[a，b]任意劃分成n個小區間，若存在常數M，使
ni=1
f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數．
（1）判斷函數f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否為有界變差函數，并說明理由；
（2）定義在[a，b]上的單調函數f（x）是否一定為有界變差函數？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（3）若定義在[a，b]上的函數f（x）滿足：存在常數k，使得對于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•湖北模擬）集合A是由適合以下性質的函數f（x）組成的：對于任意的x≥0，f（x）∈（1，4]，且f（x）在[0，+∞）上是減函數．
（1）判斷函數f1（x）=2-
x
及f2（x）=1+3•（
1
2
)x（x≥0）是否在集合A中？試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數f（x），不等式f（x）+f（x+2）≤k對于任意的x≥0總成立．求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設y=f（x）為定義在區間I上的函數，若對I上任意兩個實數x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數？
（2）已知函數f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區間[3，6]上的凹函數，請直接寫出實數a的取值范圍（不要求寫出解題過程）；
（3）設定義在R上的函數f3（x）滿足對于任意實數x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•楊浦區一模）若函數y=f（x），如果存在給定的實數對（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，則稱y=f（x）為“Ω函數”．
（1）判斷下列函數，是否為“Ω函數”，并說明理由；
①f（x）=x3         ②f（x）=2x
（2）已知函數f（x）=tanx是一個“Ω函數”，求出所有的有序實數對（a，b）．

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