Question

已知、分別是與x軸、y軸正方向相同的單位向量，（a∈R），對任意正整數n，．
（1）若，求a的值；
（2）求向量；
（3）設向量，求最大整數a的值，使對任意正整數n，都有x_n＜y_n成立．

Answer 1

解：（1）由題意，
所以51a+12=0，
解得．
（2）
=
=
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，
由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，
得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，
令a_n=3•2^n-1-51n+50，
只需求數列{a_n}得最小項．
由，
得6≤n≤6，
即n=6，
a₆=-160，
所以a=-161．
分析：（1）由題意，知51a+12=0，由此能求出a的值．
（2）由題意=，由此能求出結果．
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，令a_n=3•2^n-1-51n+50，只需求數列{a_n}得最小項．由此能求出最大整數a的值，使對任意正整數n，都有x_n＜y_n成立．
點評：本題考查數列和向量的綜合，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．