Question

如圖，在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形．

(1)求證：AD⊥BC．

(2)求二面角B－AC－D的大小．

(3)在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方法一：如圖所示，作AH⊥面BCD于H，連DH． 　　AB⊥BDHB⊥BD，又AD＝，BD＝1， 　　∴AB＝＝BC＝AC，∴BD⊥DC．又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH⊥BC． 　　∴AD⊥BC． 　　方法二：如上圖所示，取BC的中點O，連AO、DO． 　　則有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD． 　　∴BC⊥AD． 　　(2)BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角B－AC－D的平面角，因為AB＝AC＝BC＝，∴M是AC的中點，且MN∥CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cos∠BMN＝． 　　∴∠BMN＝arccos． 　　(3)設E是所求的點，作EF⊥CH于F，連FD．則EF∥AH，∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角，則∠EDF＝30°．設EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，FD＝，∴tan∠EDF＝，解得x＝，則CE＝x＝1． 　　故線段AC上存在E點，且CE＝1時，ED與面BCD成30°角．

提示：

線線垂直線面垂直．