Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點.

（1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，探究之間的等量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）滿足等量關系．

【解析】試題分析：

(1)首先利用直線到圓心的距離等于半徑求得 的值，然后結合幾何關系求得 的值即可求得橢圓的標準方程.

(2)將原問題轉化為，聯立直線與橢圓的標準方程，結合根與系數的關系整理計算即可求得 之間的等量關系.

試題解析：

解：（1）∵直線與相切，∴.

由， ，解得.

∵點都在坐標軸正半軸上，

∴.

∴切線與坐標軸的交點為， .

∴， .

∴橢圓的方程是.

（2）設，

∵以為直徑的圓經過點，

∴，即.

∵點在直線上，

∴.

∴ （*）

由消去，得.

即

顯然

∴由一元二次方程根與系數的關系，得

代入（*）式，得.

整理，得.

又由（1），有.

消去，得

∴

∴滿足等量關系.