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設f(x)的定義域(0,+∞),對于任意正實數m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且當x>1時,f(x)>0,f(
1
2
)=-1

(1)求f(2)的值;
(2)求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(3)解關于x的不等式f(x)≥2+f(
p
x-4
)
,其中p>-1.
分析:(1)利用賦值法,對于任意正實數m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),可令m=n=1,先求出f(1),然后令 m=2,n=
1
2
,即可求出 f(
1
2
)
的值;
(2)先在定義域內任取兩個值x1,x2,并規定大小,然后判定出f(x1),與f(x2)的大小關系,根據單調增函數的定義可知結論;
(3)將f(x)≥2+f(
p
x-4
)
轉化為f(x)≥f(
4p
x-4
)
,然后根據函數的單調性和定義域建立關系式,解之即可.
解答:解:(1)令m=n=1,則f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0(2分)
m=2,n=
1
2
,則 f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)

∴f(2)=1(4分)
(2)設0<x1<x2,則
x2
x1
>1

∵當x>1時,f(x)>0
f(
x2
x1
)>0
(6分)
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)>f(x1)
(9分)
所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(10分)
(3)∵f(2)=1得2=f(2)+f(2)=f(4)
f(x)≥2+f(
p
x-4
)

可化為:f(x)≥f(
4p
x-4
)

由y=f(x)在(0,+∞)上單調遞增,
原不等式可化為:
x≥
4p
x-4
4p
x-4
>0

當p>0時,解之得:x≥2+2
1+p

當-1<p<0時,解之得:2-2
1+p
≤x≤2+2
1+p
點評:本題主要考查了抽象函數及其應用,以及函數單調性的判斷、證明及應用,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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x
1-2x

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x
3

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f(x)
x

(1)判斷函數F(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上的單調性;
(2)設x1,x2∈(0,+∞),比較f(x1)+f(x2)與f(x1+x2)的大小,并證明你的結論;
(3)設x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比較f(x1)+f(x2)+…+f(xn)與f(x1+x2+…+xn)的大小,并證明你的結論.

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