Question

【題目】已知四邊形為矩形，，E為的中點，將沿折起，連接，，得到四棱錐，M為的中點，與平面所成角為，在翻折過程中，下列四個命題正確的序號是________．

①平面；

②三棱錐的體積最大值為；

③點M的軌跡是圓的一部分，且；

④一定存在某個位置，使；

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

取的中點N，連接MN、EN，根據四邊形MNEB為平行四邊形判斷①③正確；當平面平面時，三棱錐的體積取最大值，經過計算得出②正確；假設，得出矛盾結論判斷④不正確.

①項，取的中點N，連接MN、EN，

則MN為的中位線，，且

又E為矩形ABCD的邊AB的中點，，且

，且，即四邊形MNEB為平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面，故①正確；

②項，由為的中點，可知三棱錐的體積為三棱錐的一半，

當平面平面時，三棱錐的體積取最大值，

取DE的中點O，則，且，

∵平面平面，平面平面，，

∴平面,

的面積為：，

∴三棱錐的體積的最大值為

則三棱錐的體積的最大值為，故②項正確；

③項，由四邊形MNEB為平行四邊形可得，

而在翻折過程中，NE的長度保持不變，故BM的長為定值，

為直角三角形，90°，，

，故③正確；

④項，取DE的中點O，連接，CO，

由可知，

若，則平面，

，又，

為等腰直角三角形，

故而，而，，與矛盾，

故DE與所成的角不可能為，故④不正確.

故答案為：①②③.