Question

（本小題滿分13分）

已知（其中e為自然對數的底數）。

   （1）求函數上的最小值；

   （2）是否存在實數處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，函數在區間上無最小值；

    當時，函數在區間上的最小值為；

    當時，函數在區間上的最小值為

（2）不存在，使曲線處的切線與軸垂直。

【解析】解：（1）

    令，得…………1分

    ①若，則在區間上單調遞增，此時函數無最小值

……2分

    ②若時，，函數在區間上單調遞減

    當時，，函數在區間上單調遞增

    時，函數取得最小值…………4分

    ③若，則，函數在區間上單調遞減

    時，函數取得最小值…………5分

    綜上可知，當時，函數在區間上無最小值；

    當時，函數在區間上的最小值為；

    當時，函數在區間上的最小值為…………6分

   （2）

   

    ……7分

    由（1）可知，當

    此時在區間上的最小值為

    即…………9分

    當，

    …………11分

    曲線Y在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解

    而，即方程無實數解

    故不存在，使曲線處的切線與軸垂直…………13分