Question

【題目】一間宿舍內住有甲乙兩人，為了保持宿舍內的干凈整潔，他們每天通過小游戲的方式選出一人值日打掃衛生，游戲規則如下：第1天由甲值日，隨后每天由前一天值日的人拋擲兩枚正方體骰子(點數為)，若得到兩枚骰子的點數之和小于10，則前一天值日的人繼續值日，否則當天換另一人值日.從第2天開始，設“當天值日的人與前一天相同”為事件.

（1）求.

（2）設表示“第天甲值日”的概率，則，其中，.

（ⅰ）求關于的表達式.

（ⅱ）這種游戲規則公平嗎？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）（ⅰ）（ⅱ）不公平，理由見解析

【解析】

（1）根據古典概型的概率公式和對立事件的概率公式可求得結果；

（2）（ⅰ）代入的值后，構造等比數列可求得結果；

（ⅱ）根據可知游戲不公平.

（1）由題意可知，事件表示“當天值日的人與前一天不同”，即前一天值日的人拋擲兩枚骰子所得點數之和大于或等于10.

拋擲兩枚骰子所得點數的情況有種，事件包含的情況有，共6種情況.所以.

所以.

（2）（ⅰ）由（1）可知.

整理可得，

所以是首項為，公比為的等比數列.

所以.

所以.

（ⅱ）不公平.

理由如下：因為恒成立，即每天甲值日的概率都大于，甲每天值日的概率都比乙值日的概率大，所以不公平.