Question

設函數f（x）=ln|x|-x²+ax．
（Ⅰ）求函數f（x）的導函數f′（x）；
（Ⅱ）若x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，且，試求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）設函數f（x）在點C（x，f（x））（x為非零常數）處的切線為l，若函數f（x）圖象上的點都不在直線l的上方，試探求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，分類討論，將函數化簡，再求導函數即可；
（Ⅱ）根據x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，利用韋達定理，可求a的值，即得到函數解析式，求導函數，利用f'（x）≥0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）確定切線l的方程，再構造新函數g（x），求導數，確定函數的單調性與極值，從而函數f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，等價于g（x）≤0對x≠0恒成立，即只需g（x）≤0和，由此可得x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=ln|x|-x²+ax的定義域為{x|x∈R，x≠0}．
當x＞0時，f（x）=lnx-x²+ax，∴；  …（1分）
當x＜0時，f（x）=ln（-x）-x²+ax，∴； …（3分）
綜上可得 ．…（4分）
（Ⅱ）∵=，x₁、x₂為函數f（x）的兩個極值點，
∴x₁、x₂為方程-2x²+ax+1=0的兩根，所以，
又∵，∴a=-1．…（5分）
此時，，
由f'（x）≥0得，
當x＞0時，，此時；
當x＜0時，（2x-1）（x+1）≥0，∴x≤-1或x≥，此時x≤-1．
∴當f'（x）≥0時，x≤-1或．…（7分）
當f'（x）≤0時，同理解得．…（8分）
綜上可知a=-1滿足題意，且函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1]和．…（9分）
（Ⅲ）∵，又，
∴切線l的方程為，
即（x為常數）．…（10分）
令=，=，（11分）
當x＞0時，x、g'（x）、g（x）的關系如下表：

x				（0，x）	x	（x，+∞）
g'（x）	+		-	+		-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

當x＜0時，x、g'（x）、g（x）的關系如下表：

x	（-∞，x）	x	（x，0）
g'（x）	+		-	+		-
g（x）	↗	極大值	↘	↗	極大值	↘

函數f（x）=ln|x|-x²+ax的圖象恒在直線l的下方或直線l上，
等價于g（x）≤0對x≠0恒成立．
∴只需g（x）≤0和同時成立．…（12分）
∵g（x）=0，∴只需．
下面研究函數，
∵，
∴m（x）在（0，+∞）上單調遞增，
注意到m（1）=0，∴當且僅當0＜x≤1時，m（x）≤0．…（13分）
∴當且僅當時，，
由解得或．
∴x的取值范圍是．…（14分）
點評：本題主要考查函數、導數等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數與方程思想．