Question

已知等比數列{an}的所有項均為正數，首項a1＝1，且a4,3a3，a5成等差數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)數列{an＋1－λan}的前n項和為Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，求實數λ的值．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1(n∈N*)．（2）λ＝1

【解析】(1)設數列{an}的公比為q，由條件可知q3,3q2，q4成等差數列，∴6q2＝q3＋q4，∴6＝q＋q2，

解得q＝－3或q＝2，∵q＞0，∴q＝2，

∴數列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．

(2)記bn＝an＋1－λan，則bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1，

若λ＝2，則bn＝0，Sn＝0，不符合條件；

若λ≠2，則＝2，數列{bn}為等比數列，首項為2－λ，公比為2，

此時Sn＝ (1－2n)＝(2－λ)(2n－1)，

∵Sn＝2n－1(n∈N*)，∴λ＝1.