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定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

 (1)已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；

(2)已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

(3) 若是(2)中數列的“保三角形函數”，問數列最多有多少項．

解：(1)顯然，對任意正整數都成立，即是三角形數列． 

因為k>1，顯然有，由得，解得.

所以當時，是數列的“保三角形函數”.

(2) 由得,兩式相減得

所以，，經檢驗，此通項公式滿足     

顯然，因為，

所以 是“三角形”數列．  

  (3) 因為是單調遞減函數，所以，由得

 

化簡得，解得，即數列最多有26項．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義：如果數列{an}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{an}，如果函數y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{an}的“保三角形函數”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=kx（k＞1）是數列{an}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知數列{cn}的首項為2013，Sn是數列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8052，證明{cn}是“三角形”數列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中數列{cn}的“保三角形函數”，問數列{cn}最多有多少項？
（解題中可用以下數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•青浦區二模）[理科]定義：如果數列{an}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{an}，如果函數y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{an}的“保三角形函數”，（n∈N*）．
（1）已知{an}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=kx，（k＞1）是數列{an}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{cn}的首項為2010，Sn是數列{cn}的前n項和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明{cn}是“三角形”數列；
（3）根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x2+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

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科目：高中數學 來源：2014屆安徽省高二下學期期末考試數學試卷（解析版） 題型：解答題

定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

（Ⅰ）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；

（Ⅱ）已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（Ⅲ）根據“保三角形函數”的定義，對函數，，和數列1，，，（）提出一個正確的命題，并說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年北大附中高三2月統練理科數學 題型：解答題

定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列．對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

（Ⅰ）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求k的取值范圍；

（Ⅱ）已知數列的首項為2010，是數列的前n項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（Ⅲ）根據“保三角形函數”的定義，對函數，，和數列1，，，（）提出一個正確的命題，并說明理由．

 

 

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