Question

已知定義在實數集R上的偶函數f（x）上在（0，+∞）為單調增函數．
（1）判別f（x）在（-∞，0]上的單調性并加以證明；
（2）若f（1）＜f（log₃（x-2）），求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）是定義在實數集R上的偶函數，根據偶函數在對稱區間上單調性相反，結合f（x）上在（0，+∞）為單調增函數，易判斷f（x）在（-∞，0]上的單調性，根據單調性的定義即可證明結論．
（2）根據（1）中的單調性，我們易將f（1）＜f（log₃（x-2）），轉化為一個對數不等式，結合對數函數的性質可進而轉化為一個整式不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）在（-∞，0]上為單調減函數，理由如下：
任取區間（-∞，0]上兩個數a，b，且a＜b≤0
則0≤-b＜-a
∵函數f（x）上在（0，+∞）為單調增函數
∴f（-b）＜f（-a）
又∵函數f（x）是定義在實數集R上的偶函數
∴f（-b）=f（b），f（-a）=f（a）
故f（b）＜f（a）
即f（x）在（-∞，0]上為單調減函數
（2）由（1）中結論
f（1）＜f（log₃（x-2））可化為：
log₃（x-2）＞1，或log₃（x-2）＜-1
即x-2＞3或0＜x-2＜

1

3

解得：x＞5或2＜x＜

7

3

故x的取值范圍為：x＞5或2＜x＜

7

3

．

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，函數單調性的應用，及對數的運算性質，其中利用偶函數在對稱區間上單調性相反，判斷別f（x）在（-∞，0]上的單調性是解答本題的關鍵．