Question

【題目】設函數，，其中恒不為0.

（1）設，求函數在x＝1處的切線方程；

（2）若是函數與的公共極值點，求證：存在且唯一；

（3）設，是否存在實數a，b，使得在(0，)上恒成立？若存在，請求出實數a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在；a＝0，b≠0符合題意

【解析】

（1）根據，得到，求導，得到，，寫出切線方程.

（2）根據是函數與的公共極值點，則有，解得，令，用導數法研究只有一個零點即可.

（3）根據在上無零點，分當a＝0，b≠0， ，三種情況討論求解.

（1）因為，

所以，，，，

故在x＝1處的切線方程為：；

（2），，

由題意知，解得，

令，x＞0，，

時，；時，，

故在遞減，遞增，

又時，，故在(0，1)上無零點，

，，故，

又在遞增，因此，在(1，e)上存在唯一零點，

∴存在且唯一；

（3）由題意知：在上無零點

當a＝0時，則b≠0，，符合題意；

又，則b(a＋b)＞0，故b≠0.

當a≠0時，要使在上無零點，顯然ab＞0

在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，，

時，時，，

時，，，故，

因此，時，，與題意不符，舍去；

時，時，，

時，，，故，

因此，時，，與題意不符，舍去；

綜上，存在a＝0，b≠0符合題意.