Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）若在處的切線與直線平行，求的值；

（Ⅱ）討論函數的單調區間；

（Ⅲ）若函數的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，+∞）.（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導數幾何意義得在處的導數值等于切線斜率，即，而，解得（Ⅱ）因為，所以根據導函數是否變號進行討論：當時， >0，遞增區間為（0，+∞）.當時，導函數有一零點，列表分析導函數符號可得：單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，+∞）.（Ⅲ）先化簡所證不等式：要證，即證，因為函數的圖象與x軸有兩交點，所以，所以需證：即.利用A,B兩點在上得，代入化簡得只需證，令，構造，利用導數可得g（t）在（0，+∞）上是增函數，即g（t）< g（1）=0，從而得證

試題解析：（I）由題知的定義域為（0，+∞），

且.

又∵f（x）的圖象在處的切線與直線平行，

∴，

解得. …………4分

（Ⅱ），

由x>0，知>0.

①當a≥0時，對任意x>0，>0，

∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）.

②當a<0時，令=0，解得，

當時，>0，當時，<0，

∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，+∞）.… 9分

（Ⅲ）不妨設A（，0），B（，0），且，由（Ⅱ）知，

于是要證<0成立，只需證：即.

∵， ①

， ②

①-②得，

即，

∴，

故只需證，

即證明，

即證明，變形為，

設，令，

則，

顯然當t>0時，≥0，當且僅當t=1時，=0，

∴g（t）在（0，+∞）上是增函數.

又∵g（1）=0，

∴當t∈（0，1）時，g（t）<0總成立，命題得證. ……………14分