Question

（2012•大連二模）已知函數f（x）定義域為{x∈R|x≠0），對于定義域內任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（xy）．且x＞1時，f（x）＞0，則（　�。�

A．f（x）是偶函數且在（-∞，0）上單調遞減

B．f（x）是偶函數且在（-∞，0）上單調遞增

C．f（x）是奇函數且在（-∞，0）上單調遞增

D．f（x）是奇函數且在（-∞，0）上單調遞減

Answer 1

分析：利用賦值法求出f（1），再求出f（-1）的值，利用偶函數的定義判斷函數為偶函數；設x₁＜x₂＜0，作差得，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），根據x＞1時f（x）＞0，可判斷差的符號，由單調性定義即可判斷f（x）在（-∞，0）上的單調性；

解答：解：令x=y=1，得f（1）+f（1）=f（1），所以f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）+f（-1）=f（1），所以f（-1）=0，
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），
∴函數f（x）為偶函數；
設x₁＜x₂＜0，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x2•

x1

x2

）=f（x₂）-f（x₂）-f（

x1

x2

）=-f（

x1

x2

），
因為x₁＜x₂＜0，所以

x1

x2

＞1，
所以f（

x1

x2

）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
所以函數f（x）在（-∞，0）上遞減，
故選A．

點評：本題考查抽象函數的奇偶性、單調性的判斷問題，定義是解決該類題目的常用方法，要熟練掌握．