Question

已知f(x)=

x2-4x+6 3x+4

(x≥0)，   (x＜0)，

若互不相等的實數x₁，x₂，x₃滿足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

(

10

3

，4)

．

Answer 1

分析：做出函數f(x)=

x2-4x+6 3x+4

(x≥0)，   (x＜0)，

的圖象，如圖，不妨設x₁＜x₂＜x₃，則x₂，x₃關于直線x=2對稱，得到
x₂+x₃，且x₁位于圖中線段AB上，從而有：-

4

3

＜x₁＜0，最后結合求得x₁+x₂+x₃的取值范圍即可．

解答：解：先做出函數f(x)=

x2-4x+6 3x+4

(x≥0)，   (x＜0)，

的圖象，如圖所示：
不妨設x₁＜x₂＜x₃，則x₂，x₃關于直線x=2對稱，故x₂+x₃=4，
且x₁位于圖中線段AB上，故x_B＜x₁＜x_A即-

2

3

＜x₁＜0，
則x₁+x₂+x₃的取值范圍是：-

2

3

+4＜x₁+x₂+x₃＜0+4；即x₁+x₂+x₃∈（

10

3

，4）．
故答案為 (

10

3

，4)．

點評：本小題主要考查分段函數的解析式求法及其圖象的作法、函數的值域的應用、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．