Question

【題目】已知函數.

(1)判斷函數的奇偶性，并說明理由；

(2)若對于任意的恒成立，求滿足條件的實數m的最小值M .

(3)對于(2)中的M，正數a，b滿足，證明: .

Answer 1

【答案】(1) 當時， 為偶函數, 當時，既不是奇函數也不是偶函數，理由見解析；(2)2；(3) 證明見解析.

【解析】

(1)對分類討論,結合奇偶性的定義進行判斷可得;

(2)將不等式轉化為對任意的都成立,再構造函數,利用單調性求出最大值即可得到答案;

(3)由(2)知,所以,再根據變形可證.

(1)(i)當m=1時，，,

因為,

所以為偶函數；

(ii)當時,,,,,

所以既不是奇函數也不是偶函數.

(2) 對于任意的,即恒成立，

所以對任意的都成立,

設,

則為上的遞減函數,

所以時,取得最大值1,

所以,即.

所以.

(3)證明: 由(2)知,

，所以,

,

，當且僅當時取等號，①

又

，當且僅當時取等號，②

由①②得，,

所以,