Question

【題目】已知函數有如下性質：該函數在上是減函數，在上是增函數．

（1）已知，利用上述性質，求函數的單調區間和值域；

（2）對于(1)中的函數和函數，若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）減區間為，增區間為，值域；（2）.

【解析】試題分析：（1）設 ，構造函數，利用該函數在 上遞增，在上遞減，結合復合函數的單調性，可得函數的單調區間和值域；（2）若對任意，總存在，使得成立，等價于的值域是函數的值域的子集，分別求出的值域與函數的值域，利用包含關系，列不等式組求解即可.

試題解析：(1)

設u＝x＋1，x∈[0,3]，1≤u≤4，

則， u∈[1,4]．

由已知性質得，當1≤u≤2，即0≤x≤1時，f(x)單調遞減；

所以減區間為[0，1]；當2≤u≤4，即1≤x≤3時，f(x)單調遞增；

所以增區間為[1，3] ;由f(1)＝4，f(0)＝f(3)＝5，得f(x)的值域為[4，5]．

(2)g(x)＝2x+a為增函數，故g(x)∈[a，a+6]，x∈[0,3]．由題意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，∴ ， ∴.