Question

已知函數y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，求
（1）函數的最小正周期是多少？
（2）函數的單調增區間是什么？
（3）函數的圖象可由函數y=

2

sin2x(x∈R)的圖象如何變換而得到？

Answer 1

分析：（1）直接由y=Asin（ωx+Φ）（ω＞0）型函數的周期公式求函數y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的周期；
（2）給出的函數是復合函數，內層一次函數是增函數，要求該復合函數的增區間，直接由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z解出x的取值范圍即可；
（3）把給出的函數變形為y=

2

sin(2x+

π

4

)+2=

2

sin2(x+

π

8

)+2，根據自變量x的變化和函數值的變化即可得到正確結論．

解答：解：（1）由函數y=

2

sin(2x+

π

4

)+2，所以，其最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z．
所以，函數y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的單調增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
（3）由y=

2

sin(2x+

π

4

)+2=

2

sin2(x+

π

8

)+2可知，把函數y=

2

sin2x(x∈R)的圖象先向左平移

π

8

個單位，再向上平移2個單位得到函數y=

2

sin(2x+

π

4

)+2的圖象．

點評：本題考查了三角函數的周期性及其求法，考查了與三角函數有關的復合函數的單調性，注意掌握“同增異減”的原則，考查了三角函數的圖象變換問題，該類問題極易出錯，正確解答的關鍵是看變量x的變化．此題是中檔題．