Question

已知橢圓內一定點M(m，0)(m≠0)和直線：，直線與軸交點為K．

(1)過M的任意直線與橢圓交于A、B兩點，證明：∠AKM=∠BKM；

(2)過點K的直線與橢圓相交于A、E兩點，設，過點E且平行于直線的直線與橢圓相交于另一點B，證明：．

Answer 1

解：(1)過點A作直線的垂線，垂足為D，過點B作直線的垂線，垂足為C，

設A()，，則B()，

將點A、B的坐標分別代入橢圓方程得    ①

  ②

       將①式兩端同乘以得    ③

       消去得，

       ∵，約去化簡得

       ，

       即，即

       于是，∴△BKC∽△AKD，

       ∴∠BKC=∠AKD，故∠AKM=∠BKM．

       (2)先證明B、M、A三點共線，作直線AM與橢圓交于另一點B₁．

       由(1)知，∠B₁KM=∠AKM，

      由對稱性易知EB₁⊥軸，故點B₁與點B重合，

即AB經過點M，過A、B、E分別作直線的垂線，垂足分別是D、C、R，

由知，即．