Question

【題目】已知函數．

（1）判斷的奇偶性；

（2）用單調性的定義證明為上的增函數；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）奇函數；（2）見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據函數奇偶性的定義判斷即可；（2）利用單調性定義，作差后注意變形，分析差的正負即可；（3）由（1）（2）知函數是奇函數，在R上遞增，轉化為，根據單調性可得對任意的恒成立，分類討論即可求解．

試題解析：

（1），∵，

∴是奇函數．

（2）任取， ，且，則

，

∵，∴，

∵，

∴，即，∴在上是增函數．

（3）∵為奇函數且在上為增函數，

∴不等式化為，

∴對任意的恒成立，

即對任意的恒成立．　

①時，不等式化為恒成立，符合題意；

②時，有即．　

綜上， 的取值范圍為．