Question

已知函數f（x+1）是定義在R上的奇函數，若對于任意給定的不等實數x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，則不等式f（1-x）＜0的解集為

（-∞，0）

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Answer 1

分析：根據題意，當實數x₁、x₂，滿足x₁＜x₂時有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定義在R上的減函數．而f（x+1）是定義在R上的奇函數，可算出f（1）=0，從而不等式f（1-x）＜0即f（1-x）＜f（1），結合f（x）的單調性即可得到原不等式的解集．

解答：解：∵任意給定的不等實數x₁、x₂，不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
∴任意實數x₁、x₂，滿足x₁＜x₂時有f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）是定義在R上的減函數
∵f（x+1）是定義在R上的奇函數，
∴f（x+1）=-f（1-x）對x∈R恒成立．令x=0，得f（1）=0
因此，不等式f（1-x）＜0即f（1-x）＜f（1）
∵f（x）是定義在R上的減函數
∴1-x＞1，解之得x＜0，原不等式的解集為（-∞，0）
故答案為：（-∞，0）

點評：本題給出抽象函數，在已知函數的單調性和奇偶性的情況下解關于x的不等式，著重考查了函數的基本性質和抽象不等式的解法等知識，屬于基礎題．