Question

【題目】已知函數 (mR)

（1）當時，

①求函數在x=1處的切線方程；

②求函數在上的最大，最小值．

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）①；②函數在上的最大值為，最小值為；（2）.

【解析】

（1）當時，求出函數的導數.

①根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的切線的斜率，寫出切線的點斜式方程，最后化成一般形式即可；

②根據導函數的正負性判斷出函數的單調性，進而根據函數的極值定義求出函數的極值，再比較給定區間端點函數值進行求解即可；

（2）求出函數的導數，根據函數單調性和導數正負性的關系，得到不等式，常變量分離，構造新函數，判斷新函數的單調性，求出新函數的最值進行求解即可.

（1）當時，.

①當x=1時，，

所以函數在x=1處的切線的斜率為，因此切線方程為：

；

②因為，所以當時，，函數單調遞減，

當時，，函數單調遞增，

所以當時，函數有極小值，

而，

所以函數在上的最大值為，最小值為；

（2），

因為函數在上單調遞增，

所以 在時恒成立，

即在時恒成立，設，，

因為當時，函數單調遞增，所以，

因此要想在時恒成立，只需.

所以當函數在上單調遞增時，實數的取值范圍為.