Question

在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知函數滿足：對于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若，求BC邊上的中線AM長的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得f（A）為函數f（x）的最大值，即=1，∴A=．
（2）若，則BM=，△ABM中，由余弦定理可得 c²=+AM²-2×cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b² =+AM²-2×cos∠AMC=+AM² +2×cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM² =-．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
故有 b²+c² =3+bc＞3，且 b²+c²-bc=3≥b²+c²-，
化簡可得3＜b²+c²≤6，∴AM∈（，]．
分析：（1）由題意可得f（A）為函數f（x）的最大值，即=1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM²=-+，3=b²+c²-bc，從而得到 3＜b²+c²≤6，由此求得BC邊上的中線AM長的
取值范圍．
點評：本題主要考查余弦定理，求三角函數的最值，以及不等式性質的應用，屬于中檔題．