Question

已知向量=（sinωx，1），=（ωx，ωx）（A＞0，ω＞0），函數f（x）=的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的單調遞減區間；
（2）求函數g（x）在上的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用兩個向量的數量積的定義、三角函數的恒等變換，化簡函數f（x）的解析式為Asin（2ωx+），由最大值求得A，由周期求出ω，從而確定函數f（x）的解析式．
（II）根據y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律 求出函數g（x）=3sin（2x+）．（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得x的范圍，即可求得g（x）的單調遞減區間．
（2）當x的范圍，求得2x+的范圍，可得sin（2x+）的范圍，從而求得g（x）的范圍．
解答：解：（I）函數f（x）==Asinωxcosωx+cos2ωx=A（sinωxcosωx+cos2ωx）=Asin（2ωx+），…（3分）
因為函數f（x）的最大值為3，且其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，
所以A=3，函數的周期T=2π，又 T=，所以ω=．   …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+）．   …（6分）
（II）將函數y=f（x）的圖象向左平移個單位，得到函數 y=3sin[（x+）+]的圖象，
再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的 倍，縱坐標不變，得到函數g（x）=3sin（2x+）的圖象．       …（8分）
（1）因為函數y=sinx 的單調遞減區間為[2kπ+，2kπ+]，（k∈z ），
所以 2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得 kπ+≤x≤kπ+，
所以函數g（x）的單調遞減區間為[kπ+，kπ+]，（k∈z）．…（11分）
（2）當x∈[，]時，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，]，g（x）∈[-，]．
所以函數g（x）在[，]上的值域為[-，]．    …（14分）
點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，三角函數的恒等變換及化簡求值，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域、單調性，屬于中檔題．