Question

設一元二次方程a_nx²－a_n＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有兩根α和β，且滿足6α－2αβ＋6β＝3

(1)試用a_n表示a_n＋1；

(2)求證：數列{a_n－}是等比數列；

(3)當a₁＝時，求數列{a_n}的通項公式.

Answer 1

(1)∵一元二次方程a_nx²－a_n＋1x＋1＝0(n＝1,2,3，…)有兩根α和β，

∴由根與系數的關系易得α＋β＝，αβ＝，

∵6α－2αβ＋6β＝3，∴－＝3，

即a_n＋1＝a_n＋.

(2)∵a_n＋1＝a_n＋，∴a_n＋1－＝(a_n－)，

當a_n－≠0時，＝，

當a_n－＝0，即a_n＝時，

此時一元二次方程為x²－x＋1＝0，

即2x²－2x＋3＝0，Δ＝4－24＜0

∴不合題意，即數列{a_n－}是等比數列.

(3)由(2)知：數列{a_n－}是以a₁－＝－＝為首項，公比為的等比數列，

∴a_n－＝×()^n－1＝()ⁿ，

即a_n＝()ⁿ＋，

∴數列{a_n}的通項公式是a_n＝()ⁿ＋.