已知橢圓,拋物線
的焦點均在
軸上,
的中心和
的頂點均為原點
,每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄于表中:
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(1)求,
的標準方程;
(2)設斜率不為0的動直線與
有且只有一個公共點
,且與
的準線交于
,試探究:在坐標平面內是否存在定點
,使得以
為直徑的圓恒過點
?若存在,求出
點的坐標,若不存在,請說明理由.
(1)
,
;(2)存在定點
.
【解析】
試題分析:(1)設出標準方程,由點的坐標代入求出基本量即得;(2)巧設直線的方程為
,由直線與橢圓相切,求得
,利用直線
與
的準線相交求點
的坐標,寫出以
為直徑的圓的方程,利用恒成立求解.
試題解析:(1)設,
的標準方程為:
,
,∵
和
代入拋物線方程中得到的解相同,∴
, (3分)
又和
在橢圓上,把點的坐標代入橢圓方程得
,
,則
,
的標準方程分別為,
.
(6分)
(2)設直線的方程為
,將其代入
消去
并化簡整理得:
,又直線與橢圓相切,
∴,∴
, (8分)
設切點,則
,
,
又直線與
的準線
的交點
,
∴以為直徑的圓的方程為
, (10分)
化簡整理得恒成立,
故,
,即存在定點
符合題意. (13分)
考點: 橢圓、拋物線的性質,圓的性質,直線與圓橢圓的關系,定點問題.
科目:高中數學 來源: 題型:
已知橢圓、拋物線
的焦點均在
軸上,
的中心和
的頂點均為原點
,從每條曲線上各取兩個點,將其坐標記錄于下表中:
| 3 | 2 | 4 | |
| | 0 | 4 | |
⑴求的標準方程;
⑵是否存在直線滿足條件:①過
的焦點
;②與
交不同兩點
且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2014屆河南安陽一中高二第一次階段測試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓,拋物線
的焦點均在
軸上,
的中心和
的頂點均為坐標原點
,從每條曲線上各取兩個點,將其坐標記錄于表中:
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(1)求的標準方程;
(2)請問是否存在直線同時滿足條件:(ⅰ)過
的焦點
;(ⅱ)與
交于不同兩點
、
,且滿足
.若存在,求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年河南省南陽市高三春期第十一次考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓、拋物線
的焦點均在
軸上,
的中心和
的頂點均為原點
,從每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄于下表中:
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3 |
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4 |
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0 |
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(1)求,
的標準方程;
(2)請問是否存在直線滿足條件:①過
的焦點
;②與
交于不同兩點
,
,且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年吉林省長春市高三第一次調研測試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知橢圓、拋物線
的焦點均在
軸上,
的中心和
的頂點均為原點
,從每條曲線上各取兩個點,將其坐標記錄于下表中:
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3 |
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4 |
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0 |
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⑴求的標準方程;
⑵是否存在直線滿足條件:①過
的焦點
;②與
交不同兩點
且滿足
?若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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