Question

已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.

（1）求證：PA⊥平面ABC；

（2）當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形.

Answer 1

解析：已知條件“平面PAB⊥平面ABC，…”，使我們想到面面垂直的性質定理，便有如下證法.

證明：如圖，（1）在平面ABC內取一點D，作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，

∴DF⊥平面PAC，PA平面PAC.

∴DF⊥AP，作DG⊥AB于G,同理可證DG⊥AP，

    又DG，DF都是在平面ABC內，

∴PA⊥平面ABC.

（2）作BE交PC于H,

∵E是△PBC的垂心，

∴PC⊥BE.

    又AE是平面PBC的垂線，

∴PC⊥AB.

    又∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB.

∴AB⊥平面PAC.

∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.