Question

函數y=f（x）是偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（-3）的值，并指出f（x）的單調遞增區間；
（2）若當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，求a的取值集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據f（x）為偶函數f（-x）=f（x），求出x＜0時，f（x）的解析式，畫出f（x）的圖象，很容易求出f（x）的單調遞增區間；
（2）根據f（x）的圖象可知，當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，需要進行討論a與2a+1必須在-4到4之間，從而求出a的集合；
解答：解：（1）函數y=f（x）是偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-4x+3．
若x＜0，可得-x＞0，f（-x）=x²+4x+3，
可得f（x）=f（-x）=x²+4x+3，
∴f（-3）=（-3）²+4×（-3）+3=0，
畫出f（x）的圖象如下：

由圖象可知：f（x）的單調增區間為：（2，+∞），（-2，0）；
f（x）的單調減區間為：（-∞，-2），（0，2）；
（2）因為當x∈[a，2a+1]時，f（x）的最大值為3，
可以知道a與2a+1肯定在-4和4之間移動，
∴解得-≤a≤0，
若2a+1=4可得a=，也滿足題意；
若a=-4，也滿足題意；
∴a的取值集合：{a|-≤a≤0或a=-4或a=}；
點評：此題主要考查偶函數的性質及利用數形結合的方法求出函數的單調區間，第二問需要討論端點值，是一道好題；