Question

如圖,在正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點.

（1）證明AD⊥D₁F；

（2）求AE與D₁F所成的角；

（3）證明平面AED⊥平面A₁FD₁.

Answer 1

解析：（1）欲證線線垂直，先證線面垂直.由于易得AD⊥面D₁DCC₁，又D₁F在平面上，所以AD⊥D₁F.（2）求異面直線所成的角可轉化為求共面直線所成的角，方法是在其中一條直線所在平面內作另一條直線的平行線后求它們所成的角.（3）欲證面面垂直，先證線面垂直.設法證明AE垂直于平面A₁FD₁，這又要轉化為證線線垂直，即證明AE與平面A₁FD₁內兩條相交直線A₁D₁、D₁F分別垂直即中，這利用第（2）題的結論不難證明.

（1）證明：由正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁，可得AD⊥面D₁DCC₁.

∵D₁F面D₁DCC₁，∴AD⊥D₁F.

（2）解：如右圖，取AB的中點G，則易證得A₁G∥D₁F.

    又正方形A₁ABB₁中，E、G分別是對應邊的中點，

∴A₁G⊥AE.∴D₁F⊥AE.

∴AE與D₁F所成的角為90°.

（3）證明：由正方體可知A₁D₁⊥面A₁ABB₁，∴A₁D₁⊥AE.

    又由（2）已證D₁F⊥AE.

∵A₁D₁∩D₁F=D₁,∴AE⊥平面A₁FD₁.

    又AE平面AED，∴平面AED⊥平面A₁FD₁.