Question

（上海春卷20）某廠根據市場需求開發折疊式小凳（如圖所示）. 凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細鋼管. 考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設計小凳應滿足：① 凳子高度為，② 三根細鋼管相交處的節點與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面.

（1）若凳面是邊長為的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為，確定節點分細鋼管上下兩段的比值（精確到）；

（2）若凳面是頂角為的等腰三角形，腰長為，節點分細鋼管上下兩段之比為. 確定三根細鋼管的長度（精確到）.

Answer 1

[解]（1）設△的重心為，連結.    由題意可得，.

設細鋼管上下兩段之比為.

    已知凳子高度為. 則.       …… 3分

 節點與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行.

 就是與平面所成的角，亦即.

    ，解得，.   …… 6分

    即節點分細鋼管上下兩段的比值約為.

（2）設，.

     設△的重心為，

則，                 …… 10分

     由節點分細鋼管上下兩段之比為，可知.             

     設過點的細鋼管分別為，

     則 ，

        ，                

   對應于三點的三根細鋼管長度分別為，和.    14分