Question

某地為促進淡水魚養殖業的發展，將價格控制在適當范圍內，決定對淡水魚養殖提供政府補貼．設淡水魚的市場價格為x元/千克，政府補貼為t元/千克．根據市場調查，當8≤x≤14時，淡水魚的市場日供應量P千克與市場日需求量Q千克近似地滿足關系：P=1000（x+t-8）（ x≥8，t≥0），Q=500

40-(x-8)2

（8≤x≤14）．當P=Q時市場價格稱為市場平衡價格．
（1）將市場平衡價格表示為政府補貼的函數，并求出函數的定義域；
（2）為使市場平衡價格不高于每千克10元，政府補貼至少為每千克多少元？

Answer 1

分析：本題綜合考查函數、方程、不等式的解法等基礎知識和方法．p=Q得到方程，當根的判別式≥0時，方程有解，求出解可得函數．然后△≥0，原題t≥0，8≤x≤14以及二次根式自變量取值范圍得t的另一范圍，聯立得兩個不等式組，求出解集可得自變量取值范圍．第二小題，價格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范圍．

解答：解：（1）依題設有
1000（x+t-8）=500

40-(x-8)2

，
化簡得5x²+（8t-80）x+（4t²-64t+280）=0．
當判別式△=800-16t²≥0時，
可得x=8-

4

5

t±

2

5

50-t2

．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式組：
①

0≤t≤ 50 8≤8- 4 5 t+ 2 5 50-t2 ≤14

②

0≤t≤ 50 8≤8- 4 5 t- 2 5 50-t2 ≤14

解不等式組①，得0≤t≤

10

，不等式組②無解．故所求的函數關系式為x=8-

4

5

t+

2

5

50-t2

函數的定義域為[0，

10

]．
（2）為使x≤10，應有
8-

4

5

t+

2

5

50-t2

≤10
化簡得t²+4t-5≥0．
解得t≥1或t≤-5，由t≥0知t≥1．從而政府補貼至少為每千克1元．

點評：本小題主要考查運用所學數學知識和方法解決實際問題的能力，以及函數的概念、方程和不等式的解法等基礎知識和方法．