Question

設函數f（x）=clnx+

1

2

x²+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1為f（x）的極值點．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極大值點，求f（x）的單調區間（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有兩解，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ利用x=1為f（x）的極大值點，得到f'（1）=0，然后利用導數研究f（x）的單調區間（用c表示）；
（Ⅱ）分別討論c的取值，討論極大值和極小值之間的關系，從而確定c的取值范圍．

解答：解：f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1為f（x）的極值點，
∴f'（1）=0，
∴f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

且c≠1，b+c+1=0．
（I）若x=1為f（x）的極大值點，
∴c＞1，
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當1＜x＜c時，f'（x）＜0；
當x＞c時，f'（x）＞0．
∴f（x）的遞增區間為（0，1），（c，+∞）；遞減區間為（1，c）．
（II）①若c＜0，則f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
f（x）=0恰有兩解，則f（1）＜0，即

1

2

+b＜0，∴-

1

2

＜c＜0；
②若0＜c＜1，則f極大(x)=f(c)=clnc+

1

2

c2b+c，
f 極小(x)=f(1)=

1

2

+b，
∵b=-1-c，
則f極大(x)=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)=clnc-c-

1

2

c2＜0，
f 極小(x)=-

1

2

-c，從而f（x）=0只有一解；
③若c＞1，則f極小(x)=clnc+

1

2

c2+c(-1-c)=clnc-c-

1

2

c2＜0，
f極大(x)=-

1

2

-c，則f（x）=0只有一解．
綜上，使f（x）=0恰有兩解的c的范圍為：-

1

2

＜c＜0．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值和單調性，考查學生的計算能力，以及分類討論思想．