Question

已知a＞1，f(x)=ax-

1

ax

．
（1）證明f（x）在（-∞，+∞）是增函數；
（2）判斷函數f（x）是否有零點，若有求出零點；
（3）若f（x）滿足a=2，且x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導數f′（x），通過討論f′（x）的符號，發現導數恒為正數，所以函數為在（-∞，+∞）上的增函數；
（2）解f（x）=0，可得a^x=1，故函數的零點為x=0；
（3）先證出函數為奇函數，將不等式變形為f（1-m）＜f（m²-1），最后根據函數的單調性和定義域，可以求出符合題意的m的取值范圍．

解答：解：（1）f/(x)=axlna- (

1

a

) xln

1

a

=a xlna+a -xlna=lna（a^x+a^-x）
因為a＞1，所以lna為正數，
又∵a^x+a^-x＞0
∴f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（2）令ax-

1

ax

=0，得a^x=1（舍-1）
∴x=0，即函數有一個零點為x=0
又∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函數
∴f（x）在（-∞，+∞）上有且只有一個零點x=0
（3）∵f(-x)=a -x-

1

a-x

=

1

ax

-a x=-f(x)
∴f（x）是奇函數
故不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0可以變形為f（1-m）＜f（m²-1），
根據函數為（-1，1）上的增函數，可得

-1＜1-m＜1 -1＜m 2-1＜1 1-m＜m 2-1

，所以1＜m＜

2

點評：本題考查的知識點是指數函數綜合應用，函數的單調性、奇偶性的綜合應用，其中熟練掌握函數的性質，將題目中的不等式轉化為熟知的不等式式并進行解答是本題的關鍵．